Setelah memecahkan teka-teki “Jumlah Kubus” selama 42 tahun, para ahli matematika memecahkan masalah yang lebih kompleks yang telah melelahkan para ahli selama beberapa dekade.

Solusi 21 digit satu dekade lalu menunjukkan bahwa ada banyak solusi lain.

Apa yang Anda lakukan setelah memutuskan jawaban atas kehidupan, alam semesta, dan semuanya? Jika Anda matematika Drew Sutherland dan Andy Booker, Anda telah melakukan tugas yang lebih menantang.

Di 2019, Booker y Universitas Bristoldan Sutherland, Kepala Rekan Peneliti З, adalah orang pertama yang menemukan jawaban atas 42. Angka tersebut memiliki arti budaya pop sebagai jawaban fiksi untuk “pertanyaan utama tentang kehidupan, alam semesta, dan segalanya”, yang terkenal ditulis Douglas Adams dalam novelnya “Hitchhiking Guide to galaksi”. Pertanyaan, yang menghasilkan 42, setidaknya dalam novel, membuat frustrasi, ketidakpastian yang lucu.

Dalam matematika, secara kebetulan, ada persamaan polinomial yang mana 42 persamaannya telah menyimpang dari ahli matematika selama beberapa dekade. Persamaan x3+ dan3+ с3= k disebut soal jumlah kubus. Tampaknya persamaan sederhana secara eksponensial sulit dipecahkan jika dijelaskan sebagai “Persamaan Diaphant” – masalah yang mengasumsikan bahwa untuk nilai k apa pun, nilai x, y, dan z harus berupa bilangan bulat.

Jika rumus penjumlahan kubus dibuat sedemikian rupa, untuk nilai k tertentu solusi integral untuk x, y, dan z dapat bertambah menjadi bilangan yang sangat besar. Ruang digital yang harus dicari matematikawan untuk angka-angka ini masih besar, membutuhkan komputasi yang kompleks dan masif.

Selama bertahun-tahun, ahli matematika telah mampu menyelesaikan persamaan dengan berbagai cara, baik dengan mencari solusi atau dengan memutuskan bahwa solusi tidak boleh ada untuk setiap nilai k dari 1 hingga 100 – kecuali 42.

Jumlah solusi kubus untuk 42

Pada September 2019, para peneliti, dengan menggunakan kapasitas gabungan dari setengah juta komputer rumah di seluruh dunia, pertama kali menemukan solusi untuk 42. Terobosan yang meluas telah mendorong tim untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks dan, dalam arti tertentu, lebih universal. : menemukan solusi berikutnya untuk 3. Kredit: Christine Danilov, Institut Teknologi Massachusetts

Pada September 2019, Booker dan Sutherland, menggunakan kekuatan gabungan dari setengah juta komputer rumah di seluruh dunia, pertama kali menemukan solusi untuk 42. Terobosan yang meluas memaksa tim untuk menangani masalah yang bahkan lebih kompleks dan, dalam arti tertentu, lebih universal: menemukan solusi selanjutnya untuk 3.

Sekarang Booker dan Sutherland telah menerbitkan solusi untuk 42 dan 3, serta beberapa angka lainnya di atas 100, baru-baru ini di Prosiding National Academy of Sciences.

Mengangkat sarung tangan

Dua solusi pertama dari persamaan x3+Y.3+dengan3 = 3 dapat terlihat jelas bagi siswa aljabar sekolah menengah mana pun, di mana x, y, dan z dapat berupa 1, 1, dan 1, atau 4, 4, dan -5. Namun, pencarian solusi ketiga telah mengganggu para ahli teori bilangan ahli selama beberapa dekade, dan pada tahun 1953 teka-teki tersebut mendorong matematikawan pemula Luis Mardel untuk mengajukan pertanyaan: apakah mungkin untuk mengetahui sama sekali apakah ada solusi lain untuk 3?

“Rasanya seperti Mordel yang memberikan tantangan,” kata Sutherland. “Minat dalam menyelesaikan pertanyaan ini tidak terletak pada solusi spesifiknya melainkan pada pemahaman yang lebih baik tentang betapa sulitnya menyelesaikan persamaan ini. Itu adalah tolok ukur yang digunakan untuk mengukur diri kita sendiri. “

Selama beberapa dekade tidak ada solusi baru selama 3 tahun, banyak yang mulai percaya bahwa solusi tersebut tidak dapat ditemukan. Tetapi segera, menemukan jawaban untuk 42, metode Booker dan Sutherland, untuk waktu yang sangat singkat, menemukan solusi berikut untuk 3:

5699368212219623807203 + (−569936821113563493509)3 + (−472715493453327032)3 = 3

Penemuan ini merupakan jawaban langsung atas pertanyaan Mardela: ya, seseorang dapat menemukan solusi berikut untuk 3, dan terlebih lagi, inilah solusinya. Dan mungkin secara lebih universal, solusi yang mencakup angka 21 digit raksasa yang sampai sekarang tidak mungkin untuk disemai menunjukkan bahwa ada lebih banyak solusi untuk nilai 3 dan k lainnya.

“Ada keraguan serius dalam komunitas matematika dan komputasi karena [Mordell’s question] “Sangat sulit untuk memverifikasi,” kata Sutherland. “Jumlahnya sangat besar. Anda tidak akan pernah menemukan lebih dari beberapa solusi pertama. Tetapi saya dapat mengatakan bahwa dengan menemukan satu solusi ini, saya yakin masih ada banyak.”

Putar solusinya

Untuk menemukan solusi untuk 42 dan 3, tim memulai dengan algoritme yang ada atau memutar jumlah persamaan kubus menjadi bentuk yang menurut mereka akan lebih mudah untuk diselesaikan:

kdengan3 = x3 + Y.3 = (x + Y.) (x2xy + Y.2)

Pendekatan ini pertama kali diajukan oleh matematikawan Roger Heath-Brown, yang menyarankan bahwa untuk setiap k yang sesuai pasti ada jumlah solusi yang tak terhingga. Selanjutnya, perintah tersebut mengubah algoritme dengan menampilkan x + y sebagai satu-satunya parameter, d. Mereka kemudian mempersingkat persamaan tersebut dengan membagi kedua sisi dengan d dan hanya mempertahankan sisanya – sebuah operasi dalam matematika yang disebut “modulo d” – meninggalkan representasi masalah yang disederhanakan.

“Sekarang Anda dapat menganggap k sebagai kubus dari akar z, modulo d,” Sutherland menjelaskan. “Jadi bayangkan bekerja dalam sistem aritmatika di mana Anda hanya peduli dengan modulo d yang tersisa, dan kami mencoba menghitung pangkat tiga dari k.”

Dengan versi persamaan yang mulus ini, peneliti hanya perlu menemukan nilai d dan z yang akan menjamin untuk menemukan solusi akhir dari x, y dan z pada k = 3. Tapi tetap saja ruang bilangan yang mereka miliki yang harus dicari akan menjadi sangat besar.

Dengan demikian, para peneliti mengoptimalkan algoritma menggunakan metode “penyaringan” matematika untuk secara drastis mengurangi ruang solusi yang mungkin untuk d.

“Ini melibatkan teori bilangan yang cukup maju, menggunakan struktur dari apa yang kita ketahui tentang bidang digital untuk menghindari penelusuran di tempat yang tidak perlu kita cari,” kata Sutherland.

Tantangan global

Tim tersebut juga telah mengembangkan cara untuk mendistribusikan algoritme penelusuran secara efisien ke ratusan ribu aliran pemrosesan paralel. Jika algoritme bekerja hanya pada satu komputer, akan memakan waktu ratusan tahun untuk menemukan solusi k = 3. Dengan membagi pekerjaan menjadi jutaan masalah yang lebih kecil, yang masing-masing bekerja secara independen di komputer terpisah, tim dapat lebih mempercepatnya. Cari.

Pada September 2019, para peneliti mengimplementasikan rencana mereka melalui Charity Engine – sebuah proyek yang dapat diunduh sebagai aplikasi gratis dari komputer pribadi mana pun dan yang dirancang untuk menggunakan daya komputasi rumah cadangan untuk bersama-sama memecahkan masalah matematika yang kompleks. Pada saat itu, jaringan Charity Engine berjumlah lebih dari 400.000 komputer di seluruh dunia, dan Booker serta Sutherland dapat meluncurkan algoritme mereka di jaringan sebagai pengujian platform perangkat lunak Charity Engine yang baru.

“Untuk setiap komputer di jaringan, mereka diberi tahu, ‘Tugas Anda adalah mencari iklan yang faktor utamanya berada dalam kisaran itu, bergantung pada beberapa kondisi lain,'” kata Sutherland. “Dan kami perlu mencari cara untuk membagi mengerjakan sekitar 4 juta tugas., yang akan membutuhkan komputer sekitar tiga jam untuk menyelesaikannya. “

Dengan sangat cepat, jaringan global mengembalikan solusi pertama ke k = 42, dan hanya dua minggu kemudian, para peneliti mengonfirmasi bahwa mereka telah menemukan solusi ketiga untuk k = 3 – tahap yang mereka catat sebagian dengan mencetak persamaan pada T-shirt .

Fakta bahwa ada solusi ketiga k = 3 menunjukkan bahwa hipotesis Heath-Brown yang asli benar dan bahwa terdapat solusi yang jauh lebih banyak daripada yang terbaru ini. Heath Brown juga memprediksi bahwa jarak antara solusi akan tumbuh secara eksponensial seiring dengan pencarian mereka. Misalnya, alih-alih nilai 21 digit dari solusi ketiga, solusi keempat untuk x, y, dan z kemungkinan besar akan menyertakan digit dengan 28 digit yang mengejutkan.

“Jumlah pekerjaan yang harus Anda lakukan untuk setiap solusi baru meningkat lebih dari 10 juta, jadi solusi berikutnya untuk 3 akan memakan waktu 10 juta kali dan 400.000 komputer, dan tidak ada jaminan bahwa itu sudah cukup,” kata Sutherland. “Saya tidak tahu apakah kita bisa menemukan keputusan keempat. Tapi saya yakin itu ada di sana. “

Referensi: “Tentang Pertanyaan Mardel” oleh Andrew R. Booker dan Andrew W. Sutherland, 10 Maret 2021, Prosiding National Academy of Sciences.
DOI: 10.1073 / pnas. 2022377118

Studi ini sebagian didukung oleh Simons Foundation.

Related articles

Comments

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Share article

Latest articles

Diet junk food dapat meningkatkan risiko mengemudi berbahaya di antara pengemudi truk

Diet tidak sehat yang terkait dengan kelelahan yang lebih besar: Faktor kunci dalam peningkatan risiko kecelakaan, kata para peneliti. Pola makan yang tidak sehat dapat...

Fotosintesis buatan menjanjikan sumber energi yang bersih dan berkelanjutan

Manusia dapat melakukan banyak hal yang tidak dapat dilakukan oleh tumbuhan. Kita bisa berjalan, berbicara, mendengarkan, melihat dan menyentuh. Tetapi tanaman memiliki...

Es laut di pantai Arktik menipis secepat yang saya kira

Es Arktik yang menurun bisa dibilang salah satu korban terbesar perubahan iklim, dan dampaknya sangat luas, dari keadaan beruang kutub yang ikonik dan satwa...

Dinosaurus terbesar di Australia – “Titan Selatan” – baru saja memasuki buku rekor!

Kolaborasi Australia, "Titan Cooper Selatan." Penulis: Vlad Konstantinov, Scott Hoknul © Museum Sejarah Alam Eromanga Apa lapangan basket yang lebih tinggi dari b-double, dan...

Maju dengan roket SLS Moon raksasa, pertemuan dekat dengan Ganymede dan gerhana cincin api

Inti roket Space Launch System (SLS) seberat 188.000 pon telah naik ke peluncur bergerak, di antara dua pendorong roket padat. Kredit: NASA Bergerak maju...

Newsletter

Subscribe to stay updated.